用骨牌學數學 加法、數量、奇偶性都能有趣學會

2017年05月18日

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資料來源:周彥吉 皮膚科醫師

文:周彥吉 皮膚科醫師 圖片:周彥吉 皮膚科醫師

之前有跟大家分享過如何用銅板來輔助數學教學,現在要跟大家分享的是,如何用骨牌來帶小朋友玩數學。我們使用的骨牌是如下方這樣1x2的骨牌,上面都有兩個不同的數字。

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對較小的小朋友,可以用來練習加法:隨機拿一塊骨牌,請他把骨牌上的兩個數字加起來;或者是拿一塊骨牌,要他找出另一塊上面兩個數字和相同的骨牌。例如:一塊骨牌上的數字是1和6,小朋友必須找出上面是2和5或者是3和4的骨牌。

對高年級或國中的學生,就可以問比較難的數量問題。如果骨牌上的數字是1到6,且每個數字一定會和其他每個數字配對出現在骨牌上,那總共有幾張骨牌?如果一下子不知如何計算,可以先減少出現的數字,例如只拿有1到3或是1到4的骨牌來觀察。我們先選定一個數字,例如1,它會和2到6這五個數字分別配對在五張骨牌上,所以六個數字會有6x5=30種組合。可是比如1和2以及2和1這兩種配對其實是一樣的,所以每種組合都被重複計算兩次,骨牌數應該是30/2=15。

另外,我們可以利用些骨牌來學習奇偶性的概念。這些1x2的骨牌可以拼出不同的圖形(圖二)。不過我們發現,有些圖形可以拼出來,有些則不行。因為一塊骨牌有兩格,如果骨牌不重疊,只有偶數格的圖形可以以1x2的骨牌拼出,奇數則不行,這就是奇偶性的問題。不過,只要是偶數格的圖形,就一定可以拚得出來嗎?

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我們將下方8x8的西洋棋棋盤的右上及左下兩格用銅板擋住(圖三),剩下的格子請小朋友試試看,能否用1x2的骨牌鋪滿。我們發現,雖然少掉兩個的棋盤格子數還是偶數(62格),但卻沒辦法以骨牌鋪滿。為什麼?

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如果我們將圖形以黑白交錯的方式塗色,我們發現:無論骨牌怎麼擺放,它一定是佔了一個黑格跟一個白格。所以,如果圖形能以1x2的骨牌鋪滿,其黑格和白格的數量必須相等。左邊的棋盤銅板擋住的都是黑格,黑格比白格少兩格,所以沒辦法用骨牌鋪滿。而右邊的菱形黑白格數量相等,所以可以鋪滿。

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用拼圖的方式取代數字,來學習奇偶性及不變量的觀念,更能引起小朋友的興趣。

接著,我們再看一個骨牌問題。拿18個骨牌,拼成一6x6的正方形,我們發現:無論怎麼拚,至少可以找到一條不會穿過任何骨牌的直線(下圖鉛筆指的地方)。

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這裡排出兩種不同的情形,大家可以讓小朋友實際拿骨牌排排看,有沒有可能正方形內部橫豎各5條直線都有穿過骨牌?一定不可能。要怎麼解釋這個現象呢?我們觀察骨牌的排列,不是橫放,就是直放。而橫放的骨牌在同一列至少有兩塊,不可能只有一塊。因為直放的一次佔兩格,如果只有一塊,正方形的邊長是6,其餘的5格不可能都以直放的骨牌拚滿。所以如果正方形內部橫豎各5條,共10條直線都有穿過骨牌,每條線至少會穿過兩塊骨牌,10條線至少會穿過20塊骨牌。而總共只有18塊骨牌,所以上述的情形是不可能的。

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上面的推論看起來有些複雜,但其實只是利用數學上的鴿籠原理(又稱抽屜原理)。所謂鴿籠原理,簡單的說,就是如果要把5隻鴿子放進4個鴿籠,至少會有一個籠子裡有兩隻以上的鴿子。另外的例子像是13個人其中一定會有兩個人是同一月份生日、從一副52張的撲克牌抽5張,一定會有兩張是同花色。看似複雜的題目,可以用簡單的道理來解決,這就是數學有趣的地方。

作者簡介

周彥吉 皮膚科醫師
周彥吉 皮膚科醫師

台北醫學大學醫學士、92年度教育部生物科技管理學門公費留學獎學金
加州大學聖地牙哥分校(UCSD)管理碩士
加州大學聖地牙哥分校(UCSD)皮膚科研究員
加州聖地牙哥La Jolla Spa MD皮膚美容外科研究員
中華民國皮膚科專科醫師、台灣皮膚科醫學會會員、前長庚醫院皮膚科主任


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