爸媽的數學解題法,落伍囉!

家長、老師解題不同調,孩子無所適從,怎麼辦?本文提出七種親師之間經常教法不一、方法迥異的數學觀念,協助家長與老師在同一陣線,讓孩子不再成為夾心餅乾。

指導孩子寫數學作業時,孩子抱怨:「我們老師不是這樣教的啦!」、孩子遵從家長的解題方式,結果作業本上被老師打個大「×」……難道現在的數學,和我們過去學的不一樣嗎?

你是否也曾遇過以上情況?請 先息怒。隨著教育思潮愈來愈重視孩童認知發展,當家長準備拿過去所學的數學來教導孩子時,會有什麼陷阱?要怎麼教才不會適得其反、阻礙孩子建立下一階段的數學概念?

無論老師或家長,相信出發點都是好意,希望孩子學會。但家長過去所學的數學解題或講解方式,已有許多地方與現在孩子的教科書不同。以下舉出家長與老師經常「不同調」的七種數學觀念,協助你更了解當今的數學教學思維。

困擾1是數數還是唱數?

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×由1開始唸誦數字,能唸的數字愈大代表愈厲害。

○用手依序指著物件,建立數字與物品的對應關係。

很多孩子在進入國小前,已經能由1唱數到10或100,甚至更大的數。大人也極力稱讚這樣的孩子好聰明。但事實上,孩子真正掌握到了整數概念嗎?

在數數時,我們需注意孩子能否「一對一的對應」,也就是口中唸出「一、ㄦˋ、ㄙㄢ、ㄙˋ、ㄨˇ、ㄌㄧㄡˋ、ㄑ一」,手也同時依序指著一個個的物件。透過這個連結,數字和物件之間才能產生「一對一的對應關係」,孩子得以了解他所唸的最後一個數字,就代表這批物品的全部數量。這個過程,在數學教學領域稱為「點數」活動,不僅能幫助孩子啟蒙整數概念,更是後續學習加、減法的重要基礎。

困擾2如何認識相鄰兩位值 間的關係?

×只強調「左邊是右邊的十倍,右邊是左邊的十分之一倍」口訣。

○運用「化成相同單位比較,看看左邊是右邊的多少倍」的方式。

孩子在國小低年級,就會接觸到「個、十、百……」等在數學上稱為「位值」的概念。對於「位值」,許多大人會這麼教孩子:數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍,數字右邊位置的位值都是相鄰左邊位置位值的1/10倍。這種方法很容易記憶,但對低年級學童來說,並不容易理解。

比較好的方法是,將每個位值的數換成相同的單位來討論。例如可以這樣解釋「77」:左邊位置的7,表示70個「1」;右邊位置的7,表示7個「1」。因為70是7的10倍,所以左邊位置的7,會是右邊位置7的「10倍」。

這樣的說明過程雖然麻煩,但孩子較能掌握箇中意義,也有助於未來建立千、萬……等更高位值的概念。


困擾3如何教九九乘法?

×不問乘法表的內涵意義,崇尚反覆熟背。

○逛超市學「幾個一數」,建立倍數概念。

「九九乘法」的課程安排在國小二年級,可惜的是,家長常覺得只要會背就好,因此在孩子一年級的暑假、甚至更早,就逼著孩子背誦。然而,若孩子不了解乘法的意義,一旦討論到「關係」的概念時,孩子只能透過計算方式得到答案。以「7×5比7×3多多少?」這個題目為例,孩子只好依序算出7×5=35、7×3=21,再將兩數相減35-21=14。

若孩子了解「倍」的意義與關係,只要懂得7×5是「5個7」、7×3是「3個7」,「5個7」比「3個7」多「2個7」,「2個7」是7×2=14,所以兩者相差14。孩子如果能理解乘法表的倍數概念,在背誦上會很輕鬆自然,更不需背到「十十乘法表」,因為「7的9倍」是63,那「7的10倍」呢?再加一個7,自然就得到70。

那麼,如何幫助孩子了解「九九乘法」的意義?在日常生活中,可引導孩子多去注意周遭生活中「相同單位量包裝成一組」的現象,並透過「幾個一數」的概念來解決問題。例如,和孩子一起去超市,看到3個布丁裝一盒時,可以問他:「買4盒一共有幾個布丁?」看到一組養樂多有5瓶,問他:「買3組有多少瓶?」透過具體「幾個一組」的物品,再慢慢連結到「倍數」概念與九九乘法。

數學若能與生活連結,孩子必能更深入理解乘法意義,也更能在生活中活用數學。

困擾4如何建立除法概念?

×用乘法的概念來教除法。

○除法的基本概念是「累減」。

到了中年級,學生會開始接觸除法概念。通常除法教材的處理,會先從「分分看」的具體活動開始。以「有20顆糖果,一個人分4顆,可以分給幾個人?」題目為例,家長往往覺得這是除法問題,所以很疑惑:「為什麼不直接用除號(÷)來算呢?」因此常會直接告訴孩子用「除法」來解題。

必須留意的是,當孩子還不知道除法的意義,也不清楚誰是「被除數」、誰是「除數」,此時大人為求快速,利用「口訣」或「關鍵字」來教孩子判斷,如「大數除以小數」、「乘除互逆」等。這種教法的危險是:高年級學習分數或小數的除法時,孩子往往無法判別誰該除以誰。

幫助孩子了解除法概念,透過具體的「分」的活動,孩子通常不難理解;當孩子用算式記錄「分」的過程時,會將「每分完4顆,可以分給1個人」記成:「20-4=16 , 16-4=12 , 12-4=8 , 8-4=4 , 4-4=0」,共減了「5個4」,總共分了5次,所以可以分給5個人。

除法的基本概念是「累減」,而不是「乘除互逆」;乘法的概念可用來「估計商數」,但千萬別用乘法來教除法。


困擾5為什麼要出「加數未知」的算式填充題?

×只求快速,要求用大人的想法解題。

○尊重認知層次,給予多元解法空間。

「小威有8元,媽媽再給他幾元後,小威就有15元?」像這樣的題型,我們稱為「加數未知」問題。在現行的數學課程中,老師會請學生先列出「算式填充題」,將未知的部分用括號()表示,接著再進行解題。

針對這類題目,家長常反應:「直接算出答案就好了,為什麼要這麼麻煩列出式子,然後再解題呢?」我們不妨來看看低年級孩子是如何解決「加數未知」問題。

以上述數學問題為例,當學生列出8+( )=15的算式填充題後,可用9、10、11、12、13、14、15漸次「往上數」的策略,得到「再數7個數字,就會等於15」的答案;但如果學生已掌握7、8和15三個數字之間的關係,則可透過「15減8」來解題。

教導學童列出「算式填充題」的過程,是為以後列方程式鋪路,或摘要的用算式先把問題記下來,將注意力放在算式上,幫助學童用往上數或試算策略來解決問題。

等孩子接觸到的數字愈來愈大,發覺「往上數」策略解題很沒效率時,此時有經驗的老師,會幫助學童建立「部分─全體」的概念,掌握「加減互逆」的意義,讓學童利用減法來解決「加數未知」的問題。在孩子學數學的過程中,大人可以做的,就是多點耐心,別一開始就急著要孩子用大人的想法解題。

困擾6為什麼不早點教「直式計算」?

×過早學習直式算則,強調精確解題。

○嘗試更多不同方法,培養約估能力。

流暢的計算能力與豐富的解題經驗,不僅能培養數感,也是日後學習抽象運算及形式推理的基礎。當孩子開始學二位數的加減計算,家長常會急著教孩子用「直式算則」來計算,認為這是快速又方便的方式。但這有什麼缺點?試試看如果不使用「直式算則」,還可以有哪些方法?

以「27+38」為例,至少有下列的不同思考方式,遠比只用直式算則得出答案,更能激發孩子對數字的多樣思考。

孩子的想法可能非常多元

A 27→37→47→57再加8,得到65。

B 27+40=67,再倒數2,得到65。

C 20+30=50、7+8=15,

兩數相加50+15=65。

大人通常只這樣教

7+8=15,

在個位寫5進1到十位;

1+2+3=6,在十位寫6,得到答案65。

從各種解法中可以很清楚看到,如果只使用「直式算則」,孩子往往只需要模仿成人如何去操弄這些數字,記得各步驟的程序就能算出答案;且無論是幾位數的加減計算,孩子在每個位值所能練習到的,都是「18以內的加減」。但如果運用其他各種算法,才能真正培養孩子的數感,對於答案也能有較好的約估能力。至於「直式算則」,等孩子知道「十」是可以被計數的單位、能做「十」與「一」兩種單位的化聚(1個10可化成10個1,10個1可聚成1個10)、也熟悉「位值概念」時,再來學習也不遲!


困擾7只強調口訣與公式,有什麼危險?

×習以關鍵字解題,卻不知其所以然。

○掌握概念性理解,更勝程序性知識。

到了中高年級,孩子學習的內容愈來愈多時,大人通常只提供「口訣」或「公式」。例如:「分數除以分數要顛倒相乘」、「小數乘法中,答案的小數位數是被乘數及乘數小數位數的和」、「圓周率是3.14」、「捨等量公理而教移項法則」……。孩子不知道為什麼要這樣計算,卻背了許多口訣與公式,常會因為弄混、記錯導致解題失敗。

例如,許多大人會告訴孩子看到「共」、「多」就是加法,「差」、「少」就是減法,這會使孩子在未來的學習路上遭遇更多困難。例如「阿寶有40元,和姊姊的錢共有180元,姊姊有多少元?」若只看到題目中出現「共有」,就將40和180加起來,可就大錯特錯了。

再以分數的乘法為例,許多學童會牢記「分子乘以分子、分母乘以分母」口訣。但就曾有學童碰到分數乘以整數的題目「3/8×2=( )」,便用「分子乘以整數、分母也乘以整數」的錯誤算法(3*2/8*2=6/16 )。事實上,若學童的分數乘法概念清晰,應該知道3/8是3個1/8,所以2個3/8等於6個1/8,合起來是6/8,不可能是6/16。像這樣的例子,隨著孩子年紀愈長就更不勝枚舉。

整體觀察,年級愈低的孩童,愈需要大人的協助。建議家長要多給予孩子「概念性知識」,著重思考的靈活與多元性,儘量避免只灌輸「口訣」或「公式」。當孩童只會「程序性知識」,卻缺乏「概念理解」,將嚴重影響後續的數學學習。

在數學學習的具體操作階段,建議多利用實物、教具幫孩子打好基礎,未來孩子面對更多抽象思考的數學概念時,才能減少學習障礙。家長在幫助孩童學習時,應多詢問孩子的想法,從理解題意著手,透過具體操作、圖解等方式,讓他們能理解數學,發現數學的奧妙迷人。

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